아는 내용일 수도 있지만 혹시나 하는 마음에 간단하게 글 적습니다.

큰 회사들은 공채로 신입을 많이 뽑고, 공채는 10월초부터 시작합니다.

요즘은 큰 회사(상장된, 혹은 규모가 큰)들은 신입을 공채로 많이 뽑고 있습니다.
대부분의 회사가 공채는 10월초부터 시작합니다.
그러니 10월 이전에 입사 준비를 다 하도록 해야 합니다.
1년 과정의 게임 프로그래밍 학원은 아마 12월 혹은 다음 해 1월에 과정이 끝나지만 빨리 큰 회사 가고 싶다면 과정 끝나는 것 기다리지 말고 9월말을 기준으로 포토폴리오 같은 것 다 준비하세요.

코딩 시험을 위한 공부를 해야 합니다.

공채나 공채가 아니라도 코딩 시험 보는 곳이 많습니다. 그러니 미리 준비해야 합니다.
대부분 학교를 나왔으니 시험 점수를 많이 얻기 위해서는 시험을 위한 공부를 따로 준비해야 하는 것을 알 것입니다.
그러니 프로그래밍 공부 하면서 따로 코딩 시험 공부도 꾸준히 해야 합니다.
코딩 시험은 주로 알고리즘, 자료구조 쪽이고 주관 시험이니 벼락치기가 힘듭니다. 그러니 몇 달 전부터 미리 매일 조금씩 이라도 준비하세요.
대부분 이미 다른 곳에 사용한 문제를 재 사용하는 경우가 많으니 책이나 인터넷을 통해 문제를 구한 후 그것을 중심으로 공부하면 됩니다.

참고로 코딩 시험은 경력자들도 시험을 보기 때문에 그냥 평생 한다고 생각하세요^^;

서버 보다 클라이언트를 뽑는 곳이 훨씬 많습니다.

이전 보다는 좋아졌지만 아직도 서버는 신입으로 잘 뽑지 않습니다.
그러니 취업을 위해서는 클라이언트 위주로 하는 것이 좋습니다.
꼭 서버 프로그래머가 되고 싶더라도 클라이언트 공부를 꼭 해야 합니다.

C#(혹은 유니티), C++ 둘 다 공부 해야 합니다.

아직은 게임 프로그래밍의 제1 언어는 C++ 입니다.
그리고 아직도 클라이언트 개발에 유니티 많이 사용합니다.
그러니 C#, C++ 둘 다 사용할 수 있어야 합니다.